Question

已知函數(shù)f(x)=log_A是奇函數(shù)（A>0，A≠1）.

（1）求m的值；

（2）判斷f(x)在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；

（3）當(dāng)A>1，x∈(r,A－2)時(shí)，f(x)的值域是（1，+∞），求A與r的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）m=－1. （2）由（1），得f(x)=logA（A>0，A≠1）. 任取x1，x2∈(1,+∞)，設(shè)x1<x2，令t(x)=，則t(x1)=，t(x2)=. ∴t(x1)－t(x2)=－=. ∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0. ∴t(x1)>t(x2)，即>. ∴當(dāng)A>1時(shí)，logA>logA，f(x)在（1，+∞）上是減函數(shù)； 當(dāng)0<A<1時(shí)，f(x)在（1，+∞）上是增函數(shù). （3）當(dāng)A>1時(shí)，要使f(x)的值域是（1，+∞），則logA>1， ∴>A，即>0. 而A>1，∴上式化為<0.        ① 又f(x)=logA=logA(1+)，∴當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)<0. 因而，欲使f(x)的值域是（1，+∞），必須x>1.所以對(duì)不等式①，當(dāng)且僅當(dāng)1<x<時(shí)成立. ∴解得r=1，A=2+.