Question

直角三角形的直角頂點(diǎn)為動點(diǎn)，，為兩個定點(diǎn)，作于，動點(diǎn)滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為．

(Ⅰ) 求曲線的方程；

(Ⅱ) 是否存在方向向量為m的直線，與曲線交于，兩點(diǎn)，且 與的夾角為？若存在，求出所有滿足條件的直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）曲線的方程為；（Ⅱ）存在滿足條件的直線．

解析:

（I）由題意知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，且除去兩點(diǎn)．

即點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程：．

設(shè)點(diǎn)，，則，　　①

由知，，即．代入①式

得　，即，曲線的方程為．           

（II）由（I）知，點(diǎn)，假設(shè)直線存在，可設(shè)，設(shè)，不妨令 ，則由 得  ．                

  ，，，

．   ,

則

，

則，  即，，解得或．                           

當(dāng)時，向量與的夾角為，不合題意舍去；

當(dāng)時，向量與的夾角為，符合題意．

綜上，存在滿足條件的直線．