Question

19．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC，BC的距離乘積的最大值是3．

Answer 1

分析 設(shè)P到AC的距離為x，到BC的距離為y，根據(jù)比例線(xiàn)段的性質(zhì)可知，$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{4}$，整理求得 y=$\frac{12-4x}{3}$，進(jìn)而可求得xy的表達(dá)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案．

解答 解：如圖，設(shè)P到AC的距離為x，到BC的距離為y，$\frac{x}{3}$=$\frac{4-y}{4}$，
即最上方小三角形和最大的那個(gè)三角形相似，它們對(duì)應(yīng)的邊有此比例關(guān)系，
所以4x=12-3y，y=$\frac{12-4x}{3}$，
求xy最大，也就是那個(gè)矩形面積最大．
xy=x•$\frac{12-4x}{3}$=-$\frac{4}{3}$（x²-3x），當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，xy有最大值3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形的問(wèn)題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸思想，函數(shù)思想的運(yùn)用．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．