Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）試問線段上是否存在點，使與面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）連接交于點，得是的中位線，再由線面平行的判定定理即可證明；

（2）建立直角坐標系，由兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角；

（3）設點，，表示出向量，由線面角的夾角公式求出的值即可判斷.

（1）如圖，連接交于點，

因為是直三棱柱，所以四邊形是矩形，

點為的中點，又為中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因為是直三棱柱，，所以、、兩兩垂直，

如圖建立空間直角坐標系，設，

則，，，

所以，，

設平面的法向量，則

，令，則，，

所以，

易知平面的法向量，

由二面角是銳角，

所以，

即二面角的余弦值為；

（3）設線段上存在點，，

則，

由（2）知，平面平面的法向量，

因為與面所成角的正弦值為，

所以，

解得，

所以在線段上不存在點，使得與面所成角的正弦值為.