Question

12．函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象如圖所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），則下列關于函數f（x）的說法中正確的是②③（寫出所有正確的序號）

①函數f（x）的對稱中心是（-$\frac{π}{6}$+2kπ，0）（k∈Z）
②函數f（x）的解析式是f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）
③函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為$\frac{1}{2}$；
④把函數f（x）圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$倍，縱坐標不變，所得函數的圖象關于y軸對稱．

Answer 1

分析 根據函數的圖象求出f（x）的解析式，幾次考察各項可得答案．

解答 解：由圖象可知A=1，T=2×$（\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}）$=2π，
∵T=$\frac{2π}{ω}=2π$，
∴ω=1
可得f（x）=sin（x+φ）
圖象過點（$-\frac{π}{6}$，0），故sin（$-\frac{π}{6}$+φ）=0，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$），∴②對
由對稱中心：x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=k$π-\frac{π}{6}$，函數f（x）的對稱中心是（-$\frac{π}{6}$+kπ，0）（k∈Z），∴①不對
x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，則x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，當x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$，∴③對．
把函數f（x）圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{3}$倍，可得g（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$），圖象沒有關于y軸對稱，∴④不對．故②③對．
故答案為：②③

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．