Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）寫(xiě)出一個(gè)具體函數(shù)，滿(mǎn)足題目條件；
（Ⅲ）求證：f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0，即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)題意，寫(xiě)出函數(shù)即可，
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
（Ⅱ）f（x）=0或f（x）=2x等均可． 
（Ⅲ）證明：令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
所以f（0）=f（x）+f（-x），
因?yàn)閒（0）=0，
所以f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的問(wèn)題，以及函數(shù)的奇偶性，關(guān)鍵是賦值，屬于基礎(chǔ)題．