Question

（12分）如圖所示，邊長為的等邊所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．

（1）證明：⊥；

（2）求二面角的大小；

（3）求點到平面的距離．

Answer 1

 解析：（法一）（1）證明：取中點，連接、．

       ∵△是等邊三角形，∴⊥，

       又平面⊥平面，

       ∴⊥平面，∴在平面內(nèi)射影是，

       ∵=2，，，,

       ∴△∽△，∴．

       又°，∴°，

       ∴°，∴⊥，

       由三垂線定理知⊥ 

（2）解：由⊥，⊥得是二面角的平面角      

       在Rt△中，，，∴，       °，∴二面角的大小是45°

（3）解：設(shè)到平面的距離距離是，則，

，，

．又，，

∴=，∴點到平面的距離距離是 

（方法二）證明：取中點，連接，

       ∵△是等邊三角形，∴⊥，

       又∵平面⊥平面，

       ∴⊥平面，又是矩形，

∴可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

∵=2，，

       ∴（，-1，0），（，1，0），（0，0，），

       ∴（-，2，0），（，1，-），∴=

∴⊥，∴⊥ 

（2）解：由（1）知平面的法向量=（0，0，）

設(shè)平面的法向量=（，，），則⊥，⊥，

∴，，取，得，

=（1，，），，∴二面角的大小是45°

（3）解：（0，―1，0），，（0，-1，-）

又 =（1，，），∴

∴點到平面的距離距離是．