Question

5．已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線(xiàn)的一個(gè)公共點(diǎn)，且AF⊥x軸，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，由AF⊥x軸，可得$\frac{p}{2}$=c，分別代入橢圓與拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程可得：A$（\frac{p}{2}，p）$，即A（c，2c）．代入橢圓的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$=1，又b²=a²-c²，利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵AF⊥x軸，
∴$\frac{p}{2}$=c，
把x=$\frac{p}{2}$代入拋物線(xiàn)方程可得：y²=$2p•\frac{p}{2}$，解得y=p．
∴A$（\frac{p}{2}，p）$，即A（c，2c）．
代入橢圓的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{^{2}}$=1，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
化為e⁴-6e²+1=0，0＜e＜1．
解得e²=3-2$\sqrt{2}$，
∴$e=\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．