Question

1．如圖1是四棱錐的直觀圖，其正（主）視圖和側(cè)（左）視圖均為直角三角形，俯視圖外框為矩形，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示．

（1）設(shè)AB中點為O，在直線PC上找一點E，使得OE∥平面PAD，并說明理由；
（2）若直線PB與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，求四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E是PC中點時，OE∥平面PAD，取PD中點F，連接AF、EF、OF，證明四邊形EFAO是平行四邊形，即可證明OE∥平面ADP．
（2）由三視圖可得PD⊥平面ABCD，連接DB，說明∠PBD是直線PB與底面ABCD所成角，由直觀圖易知四棱錐P-ABCD的外接球的直徑即為PB，求出PB，然后求解四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：（1）當(dāng)E是PC中點時，OE∥平面PAD，
證明如下：取PD中點F，連接AF、EF、OF，
在△PDC中，E、F分別是PC、PD的中點，
∴EF是△PDC的中位線，
∴EF∥DC且$EF=\frac{1}{2}DC$，又O是AB中點，AB=DC，
∴EF∥AO且EF=AO，
∴四邊形EFAO是平行四邊形，
∴OE∥AF．
又∵AF?平面ADP，OE?平面ADP，
∴OE∥平面ADP．

（2）由三視圖可得PD⊥平面ABCD，連接DB，
則∠PBD是直線PB與底面ABCD所成角，
在底面矩形ABCD中，AD=4，AB=8，$DB=4\sqrt{5}$，
∴$tan∠PBD=\frac{PD}{BD}=\frac{PD}{{4\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴PD=8．
由直觀圖易知四棱錐P-ABCD的外接球的直徑即為PB，
∴PB²=PD²+DB²=144．
故四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4πR²=144π．

點評 本題考查幾何體的外接球的表面積，直線與平面平行的判斷與應(yīng)用，考查存在性問題，轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．