Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為,,,為橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且以,,，四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積的最大值為．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率是直線，的斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題得，化簡(jiǎn)即得橢圓的離心率；（2）設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，由，得且．再求出，即得面積的取值范圍．

（1）由題，當(dāng)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，凸四邊形的面積最大為，

所以，．

（2）由（1）可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入得橢圓．

由題意可知，直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線的方程為，

，滿足，消去得．

，

且，，．

因?yàn)橹本�，，的斜率依次成等比數(shù)列，所以，

即，又，所以，即．

由于直線，的斜率存在，且，得且．

設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，

則

，

設(shè)，

所以的取值范圍為．