Question

在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）見解析

【解析】本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力。

（Ⅰ）欲證EF∥平面CB₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB₁D₁內(nèi)一直線平行，連接BD，根據(jù)中位線可知EF∥BD，則EF∥B₁D₁，又B₁D₁⊂平面CB₁D₁，EF⊄平面CB₁D₁，滿足定理所需條件；

（Ⅱ）欲證平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁內(nèi)一直線與平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，則AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，滿足線面垂直的判定定理則B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，而B₁D₁⊂平面CB₁D₁，滿足定理所需條件．

解：（1）證明:連結(jié)BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .

 .

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                  

（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．