Question

（12分）已知橢圓=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）若C，D分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．求證：為定值．

 

Answer 1

（Ⅰ）．

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質求出a、b的值，從而寫出標準方程．

（2）設M（2，y0），寫出直線CM的方程，并把它代入橢圓的方程，可求P的坐標，進而得到向量OM、OP的坐標，計算這2個向量坐標的數量積，得出定值．

【解析】
（1）∵左右焦點分別為F1，F2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形，

∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴橢圓方程為．（4分）

（2）C（﹣2，0），D（2，0），設M（2，y0），P（x1，y1），

則．

直線CM：y﹣0=（x+2），即 ．（6分）

代入橢圓x2+2y2=4，得，故次方程的兩個根分別為﹣2和x1，（8分）

由韋達定理可得x1﹣2=，∴，∴．

∴，（10分）

∴+==4 （定值）．（12分）