Question

1．物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型，如果物體的初始溫度為θ₁℃，空氣溫度為θ₀℃，則tmin后物體的溫度f（t）滿足：f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）•e^-kt（其中k為正的常數(shù)，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)），現(xiàn)有65℃的物體，放在15℃的空氣中冷卻，5min以后物體的溫度是45℃．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求從開始冷卻，經(jīng)過多少時間物體的溫度是25.8℃？
（Ⅲ）運用上面的數(shù)據(jù)，作出函數(shù)f（t）的圖象的草圖．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將θ₁=65，θ₀=15，當(dāng)t=5時，θ=45代入公式計算可知k的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解即可．
（Ⅲ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，θ₁=65，θ₀=15，當(dāng)t=5時，θ=45，
于是e^-5k=$\frac{3}{5}$
化簡得：-5k=ln$\frac{3}{5}$，即k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$；
（Ⅱ）由（I）可知f（t）=15+50e^-kt，（其中k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$），
∴由25.8=15+50e^-kt，得e^-kt=$\frac{27}{125}$，
結(jié)合k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$，得（$\frac{3}{5}$）e${\;}^{\frac{t}{5}}$^t=$\frac{27}{125}$，得t=15．
∴從開始冷卻，經(jīng)過15min物體的溫度是25.8°．

（Ⅲ）由f（t）=15+50e^-kt，（其中k=$\frac{1}{5}$ln$\frac{5}{3}$），
知函數(shù)的圖象如圖：
圖象在第一象限內(nèi)，過點（0，65），在[0，+∞）上是減函數(shù)，y=15是漸近線．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，考查學(xué)生的計算能力．