Question

18．如圖在多面體ABC-A₁B₁C₁中，AA₁$\underset{∥}{=}$BB₁，B₁C₁$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，求證：AB₁∥平面 A₁C₁C．

Answer 1

分析 取BC的中點D，連接AD，DC₁，則四邊形B₁DCC₁和BDC₁B₁為平行四邊形，從而可證平面AB₁D∥平面A₁C₁C，即可得到AB₁∥平面A₁C₁C．

解答 證明：取BC的中點D，連接AD，DC₁，則CD平行且等于B₁C₁，BD平行且等于B₁C₁，
∴四邊形B₁DCC₁和BDC₁B₁為平行四邊形，
∴B₁D平行且等于CC₁，∴C₁D平行且等于B₁B，
由B₁B平行且等于AA₁，∴C₁D平行且等于A₁A，
∴四邊形AA₁C₁D為平行四邊形，
∴AD∥A₁C₁
∵B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D，
∴平面AB₁D∥平面A₁C₁C，
∵AB₁?平面AB₁D，
∴AB₁∥平面A₁C₁C．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．