Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)O，C₁和C₂有公共焦點(diǎn)F，點(diǎn)F在x軸正半軸上，且C₁的長軸長、短軸長及點(diǎn)F到C₁右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列。
（Ⅰ）當(dāng)C₂的準(zhǔn)線與C₁右準(zhǔn)線間的距離為15時(shí)，求C₁及C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F且斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點(diǎn)，交C₂于M，N兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，求|MN|的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)C₁：，其半焦距為c（c＞0），則C₂：，
由條件知，得a=2c，
C₁的右準(zhǔn)線方程為，即x=4c，
C₂的準(zhǔn)線方程為x=-c，
由條件知5c=15，所以c=3，故a=6，，
從而C₁：，C₂：。
（Ⅱ）由題設(shè)知l：y=x-c，設(shè)，
由（Ⅰ）知C₁：，即，
由， 知x₃，x₄滿足，
從而，
由條件，得，
故C₂：，
由得，所以，
于是。