Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin²x+$\frac{1+cos2x}{2}$，sinx），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，2sinx），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$在[0，π]上的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積公式求出f（x）并化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=0得到關(guān)于x的三角方程解出即可．

解答 解：（1）sin²x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin²x+cos²x=1，∴$\overrightarrow{m}$=（1，sinx），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}+2kπ$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}+2kπ$]．k∈Z．
（2）g（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
令g（x）=0得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，方程無(wú)解．
∴g（x）在[0，π]上無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．