Question

設函數是在上每一點處可導的函數，若在上恒成立．回答下列問題：

（I）求證：函數在上單調遞增；

（II）當時，證明：；

（III）已知不等式在且時恒成立，求證：

．

Answer 1

（I）證明見解析。

（II）證明見解析。

（III）證明見解析。

解析:

解：（1）

∴在上單調遞增   4分

（2），∴，，

由（1）知

同理，∴   4分

（3）由（2）及數學歸納法易證得

（＊）

令，取則（＊）等價于

令，則

∴

∴