Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在其定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）記的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，證明：存在極小值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，等價(jià)于對任意恒成立，對任意恒成立，只需，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出函數(shù)最大值，從而可得結(jié)果；（2）由（1）得，其中，，，

∵，∴與同號，令，，存在，使得，是的極小值點(diǎn)，.

詳解：（1）依題意函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，

所以 對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立，

∴，，

令，，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴，即的取值范圍是.

（2）由（1）得，其中，，

∴，

∵，∴與同號，

令，，

∴ ，

∴當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∵，∴，，

∴存在，使得，

∴當(dāng)時(shí)，，，是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，，是增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，存在，使是的極小值點(diǎn).

又由得，

所以，，

所以.