Question

2．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，已知P（2，m）是拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（3，2）的直線l₁與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與直線l₁垂直的直線l₂交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中項(xiàng)，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)將P（2，m）代入拋物線C方程及拋物線的定義計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)l₁：x=m（y-2）+3（m≠0），l₂：x=-$\frac{1}{m}$y+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄），分別與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及|QA|•|QB|=|MN|²，計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義得|PF|即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，
∴|PF|=2+$\frac{p}{2}$=4，∴p=4，
又P（2，m）是拋物線C上一點(diǎn)，
∴m²=2×4×2=16，
∴m=±4；
（Ⅱ）由題可設(shè)l₁：x=m（y-2）+3（m≠0），
則l₂：x=-$\frac{1}{m}$y+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=m（y-2）+3}\end{array}\right.$，得y²-8my+16m-24=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=8m，y₁y₂=16m-24，
∴|QA|•|QB|=（1+m²）|y₂-2||y₁-2|=20（1+m²），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=-\frac{1}{m}y+2}\end{array}\right.$，得m²y+8y-16m=0，
設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄），
則y₃+y₄=-$\frac{8}{m}$，y₃y₄=-16，
故|MN|²=（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）|y₃-y₄|²=$\frac{64（1+{m}^{2}）^{2}}{{m}^{4}}$，
由已知20（1+m²）=$\frac{64（1+{m}^{2}）^{2}}{{m}^{4}}$，
化簡(jiǎn)得5m⁴-16m²-16=0，
解得m²=4，
∴|MN|=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到韋達(dá)定理、等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．