Question

7．設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個增函數(shù)；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（　　）

• A． ①和②均為真命題
• B． ①和②均為假命題
• C． ①為真命題，②為假命題
• D． ①為假命題，②為真命題

Answer 1

分析 ①不成立．可舉反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3，x≤0}\\{-x+3，0＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{2x，x＞0}\end{array}\right.$．
②由題意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判斷出真假．

解答 解：①不成立．可舉反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+3，x≤0}\\{-x+3，0＜x＜1}\\{2x，x≥1}\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{2x，x＞0}\end{array}\right.$．
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前兩式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），結合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正確．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與周期性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．