Question

【題目】設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，直線交圓于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).

（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）由，，故，所以，得到，化簡得，利用橢圓的定義，即可求解；

（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式和三角形的面積公式，即可求解．

（1）因?yàn)?/span>，，故，

所以，故，

又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

從而，所以，

由題設(shè)得，，，

由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，

由得，

則，，

所以，

過點(diǎn)且與垂直的直線，到的距離為，

所以，

故四邊形的面積，

可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，四邊形的面積為，

綜上，四邊形面積的取值范圍為.