Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x．
（Ⅰ）求證：f（$\frac{7}{4}$π-x）=f（x）；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$有解，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若x∈（0，$\frac{5π}{8}$）時，函數(shù)g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四個不同零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用三角函數(shù)的誘導公式證明；
（Ⅱ）由f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$求得f（x）的范圍，再由$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$有變形可得實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）令t=f（x），得t∈（-1，$\sqrt{2}$]，函數(shù)g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四個不同零點等價于h（t）=t²-2mt+1在t∈（0，$\sqrt{2}$]有兩個不同的零點，然后利用根的分布得到關于m的不等式組求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵f（$\frac{7}{4}$π-x）=sin（$\frac{7π}{2}-2x$）-cos（$\frac{7π}{2}-2x$）
=sin2x-cos2x，
∴f（$\frac{7}{4}$π-x）=f（x）；
（Ⅱ）解：f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴2x$-\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$]，則$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$∈[-1，1]．
$\frac{f（x）+2}{k}-1=0$，即k=f（x）+2∈[1，3]；
（Ⅲ）解：令t=f（x），
∵x∈（0，$\frac{5π}{8}$），∴t∈（-1，$\sqrt{2}$]，
函數(shù)g（x）=f²（x）-2mf（x）+1有四個不同零點等價于
h（t）=t²-2mt+1在t∈（0，$\sqrt{2}$]有兩個不同的零點．
由根的分布知識可得：$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{0＜m＜\sqrt{2}}\\{h（0）=1＞0}\\{h（\sqrt{2}）=2-2\sqrt{2}m+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜$\frac{3}{4}\sqrt{2}$．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學轉化思想方法，訓練了由一元二次方程根的分布求解參數(shù)問題，是中檔題．