Question

在四棱錐P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E為PA的中點(diǎn)．

   （1）求證：BE∥平面PCD；

   （2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

 

Answer 1

證明：（1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，CF．

因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝AD．

因?yàn)锽C∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四邊形BCFE為平行四邊形．

所以BE∥CF．     

因?yàn)锽E平面PCD，CF平面PCD，

所以BE∥平面PCD．                            

（2）因?yàn)锳B＝PB，E為PA的中點(diǎn)，所以PA⊥BE．

因?yàn)锽E∥CF，所以PA⊥CF．                   

因?yàn)镻A⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD．                       

因?yàn)镻A平面PAB，所以平面PAB平面PCD．