Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為.

（1）證明：有且只有一個零點.

（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）2.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可由切線斜率求得參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可容易求得結(jié)果；

（2）先根據(jù)時，滿足題意，求得的初步范圍；再證時，滿足題意；構(gòu)造函數(shù)與，即可由函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.

（1）證明：的定義域為，

，

則，解得.

，則在上單調(diào)遞減，

，，

有且僅有一個零點.

（2）解：當(dāng)時，，由此可得.

當(dāng)時，下面證明對恒成立.

證明：.

令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則.

令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則.

從而，又和不在同一處取到最值，則.

故當(dāng)時，恒成立，從而整數(shù)的最小值為2.