Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≥0）
（1）a=0時，令h（x）=f（x）g（x），求h（x）的極值．
（2）當a=1時，求證：f（x）≤g（x）
（3）若y=f（x）與y=g（x）的圖象交于點M，N兩點，過線段MN的中點作x軸的垂線分別與f（x）的圖象和g（x）的圖象交于S，T點，以S為切點作f（x）的切線l₁，以t為切點作g（x）的切線l₂．是否存在實數(shù)a使得l₁∥l₂，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)和函數(shù)的極值的關系即可求出；
（2）構造函數(shù)，h（x）=g（x）-f（x），利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；
（3）不妨設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，求出MN中點的坐標，分別求出以S、T為切點的切線l₁，l₂的斜率，假設k_S=k_T，則a（x₁+x₂）-1=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
化為$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t＞1，可得lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$=2-$\frac{4}{t+1}$，令u（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$-2，利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出．

解答 解：（1）a=0時，h（x）=f（x）g（x）=-xlnx，其定義域為（0，+∞），
∴h′（x）=-lnx-1，
令h′（x）=0，解得a=$\frac{1}{e}$，
當h′（x）＞0時，即0＜x＜$\frac{1}{e}$，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
當h′（x）＜0時，即x＞$\frac{1}{e}$，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
∴當x=$\frac{1}{e}$，h（x）取得極大值$\frac{1}{e}$，無極小值；
（Ⅱ）當a=1時，h（x）=g（x）-f（x）=x²-x-lnx，
∴h′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0，解得x=1，
當x＞1，h′（x）＞0，h（x）遞增；
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
∴h（x）_min=h（1）=0，
即x＞0時，h（x）≥0恒成立，
∴當a=1時，f（x）≤g（x）；
不妨設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂，則MN中點的坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．
以S、T為切點的切線l₁，l₂的斜率分別為k_S=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
k_T=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x₁+x₂）-1，
假設k_S=k_T，則a（x₁+x₂）-1=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴a（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=y₁-y₂=lnx₁-lnx₂，化為$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t＞1，可得lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$=2-$\frac{4}{t+1}$，
令u（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$-2，
∴u′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴u（t）＞u（1）=0，
∴l(xiāng)nt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$不成立，
因此不存在a使得l₁∥l₂．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導數(shù)的幾何意義、中點坐標公式、平行線與斜率的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了等價轉(zhuǎn)化方法、換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題