Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinx•cosx-

1

2

cos2x(x∈R)．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（II）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別a、b、c，且c=

3

，f(C)=1，求三角形ABC的外接圓面積．

Answer 1

分析：（I）通過(guò)二倍角公式以及兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，借助正弦函數(shù)的最值求函數(shù)f（x）的最小值，利用周期公式求出函數(shù)最小正周期；
（II）利用f（C）=1，求出C，利用正弦定理求出外接圓的直徑，然后求出面積．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

sinx•cosx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∵x∈R，∴2x-

π

6

∈R
∴-1≤sin(2x-

π

6

) ≤1，
∴f（x）=sin(2x-

π

6

)的最小值是-1，
f（x）=sin(2x-

π

6

)的最小正周期為：T=

2π

2

=π，
故函數(shù)的最小正周期是π．
（II）∵f（C）=1∴sin（2C-

π

6

）=1，且0＜2C＜2π，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

．
由正弦定理得到：2R=

c

sinC

=

3

3 2

=2（R為外接圓半徑），
∴R=1．
∴三角形ABC的外接圓面積為S=π．

點(diǎn)評(píng)：考查三角恒等變形，正弦定理，解三角形．考查計(jì)算能力．