Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+（2a+1）x²+3a（a+2）x+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出a=-1的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，以及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得到最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+1，
∴f（3）=19，∵f′（x）=x²+2x，
曲線在點(diǎn)（3，19）處的切線的斜率k=f′（3）=15
∴所求的切線方程為y-19=15（x-3），即y=15x-26，
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+1，
∵f′（x）=x²-2x-3，令f′（x）=0得x₁=-1，x₂=3，
x₂∉[0，4]，當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，f'（x）＜0，
即函數(shù)y=f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)y=f（x）在（3，4）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，4]上有最小值，f（x）_最小值=f（3）=-8，
又f（0）=1，f（4）=-$\frac{17}{3}$；
∴當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[0，4]上的最大值和最小值分別為1，-8．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．