Question

設f（x）=x-alnx（a∈R），已知y=f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：x₁+x₂隨著a的增大而增大．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）通過求導，得出切點坐標，找到函數(shù)y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；
（2）令

x2

x1

=t（t＞1），得到

x2-x1=alnt x2=tx1

，從而x₁+x₂=

alnt(t+1)

t-1

，令m（x）=

alnx(x+1)

x-1

，（x＞1），通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性，從而解決問題．

解答： 解：（1）令f（x）=0，∴l(xiāng)nx=

1

a

x，
畫出函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=

1

a

x的圖象，如圖示：
，
∵g′（x）=

1

x

=

1

a

，∴切點坐標是（a，lna），
把（a，lna）代入h（x）=

1

a

x，得：a=e，
∴若y=f（x）有兩個零點x₁，x₂，
即g（x），h（x）有2個交點，只需a＞e即可；
∴a的范圍是（e，+∞）：
（2）∵x₁=alnx₁，x₂=alnx₂，∴x₂-x₁=aln

x2

x1

，
令

x2

x1

=t（t＞1），
則：

x2-x1=alnt x2=tx1

，解得：x₁=

alnt

t-1

，x₂=

atlnt

t-1

，
∴x₁+x₂=

alnt(t+1)

t-1

，
令m（x）=

alnx(x+1)

x-1

，（x＞1），
則m′（x）=

a(x2-2xlnx-1)

x(x-1)2

，
∵a＞e，x（x-1）²＞0，
令n（x）=x²-2xlnx-1，
則n′（x）=2（x-lnx-1）＞0，
∴n（x）在（1，+∞）遞增，∴n（x）＞n（1）=0，
∴m′（x）＞0，m（x）在（1，+∞）遞增，
∴x₁+x₂隨著a的增大而增大．

點評：點評：本題考查了導數(shù)的運算以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想、抽象概括能力和分析問題、解決問題的能力，是綜合型題目．