Question

（本小題滿分14分）已知離心率為的橢圓與直線相交于兩點（點在軸上方），且．點是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩個動點，且．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

，（0,4）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，則，設(shè)橢圓方程為

由題意可知點在橢圓上，

所以．解得．

故橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）由題意可知，直線PA，直線PB的斜率都存在且不等于0．

因為，所以．

設(shè)直線PA的斜率為k，則直線．

由，得……(1).

依題意，方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，即根的判別式成立.

即,

化簡得，解得.

因為2是方程（1）的一個解，所以．

所以．

當方程（1）根的判別式時，，此時直線PA與橢圓相切.

由題意，可知直線PB的方程為．

同理，易得．

由于點A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩個動點，，

且能存在四邊形APBQ，則直線PA的斜率k需滿足.

設(shè)四邊形APBQ面積為S，則

由于，故

.

當時，，即，即.

(此處另【解析】
設(shè)，討論函數(shù)在時的取值范圍.

，則當時，，單調(diào)遞增.

則當時，，即.)

所以四邊形APBQ面積S的取值范圍是.

考點：本題考查橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系