Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上.

（Ⅰ）求證：PB⊥AC;

 (Ⅱ) 當(dāng)PD=2AB,E在何位置時(shí)， PB平面EAC;

(Ⅲ) 在（Ⅰ）的情況下，求二面E-AC-B的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ），PB平面EAC;

（Ⅲ）二面角E-AC-B的余弦值為.

【解析】本試題主要是考查了線線垂直的判定和線面垂直求解以及二面角的平面角的綜合運(yùn)用。

（1）以D為原點(diǎn)DA、DC、DZ分別為ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸建立空間直角坐標(biāo)系，求解點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求解向量的坐標(biāo)，得到垂直關(guān)系的證明。

（2）利用直線的方向向量與平面的法向量來分析如果平行，則說明線面垂直。

（3）借助于平面的法向量與法向量的夾角來表示二面角的平面角的大小。

解 以D為原點(diǎn)DA、DC、DZ分別為ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)    

      則，

（Ⅰ）∵ =,=

∴==0

∴AC⊥PＣ

（Ⅱ）當(dāng)ＰＤ＝２ＡＢ時(shí)，，

 由（Ⅰ）知⊥，故只要即可

 設(shè),，則

，∴

∴

由得=0

∴

所以，PB平面EAC;

（Ⅲ）由（Ⅱ）知,設(shè),則

 ， 

∴等于二面E-AC-B的平面角

∴，

∴

∴二面角E-AC-B的余弦值為