Question

18．如圖的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求A到平面BCE的距離．

Answer 1

分析 （1）通過取CE的中點(diǎn)G，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用三棱錐的體積公式計(jì)算，即可求A到平面BCE的距離．

解答 （1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且$GF=\frac{1}{2}DE$．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB，
又$AB=\frac{1}{2}DE$，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）連接AE，設(shè)A到平面BCE的距離為h，
在△BCE中，$BC=BE=\sqrt{5}$，$CE=2\sqrt{2}$，
∴${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
又$CH=\sqrt{3}$，${S_{△ABE}}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴由V_A-BCE=V_C-ABE，即$\frac{1}{3}•h•{S_{△BCE}}=\frac{1}{3}•CH•{S_{△ABE}}$（CH為正△ACD的高），
∴$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
即點(diǎn)A到平面BCE的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理及棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．