Question

6．已知cosα+2sinα=1，cosβ+2sinβ=1，其中α-β≠kπ，k∈Z，則cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出α、β的三角函數(shù)值，利用二倍角公式化簡所求的表達式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)求解即可．

解答 解：cosα+2sinα=1，cosβ+2sinβ=1，其中α-β≠kπ，k∈Z，可得α，β是cosx+2sinx=1的解，又cos²x+sin²x=1，
可得cosα=1，sinα=0，cosβ=$-\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$或cosβ=1，sinβ=0，cosα=$-\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
當cosα=1，sinα=0，cosβ=$-\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，
cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（α-β）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cosαcosβ+sinαsinβ）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（$-\frac{3}{5}$）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$．
當cosβ=1，sinβ=0，cosα=$-\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（α-β）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cosαcosβ+sinαsinβ）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（$-\frac{3}{5}$）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$．
綜上cos²$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．