Question

（山東卷理22）如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

 解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．

由得，得，

所以，．

因此直線的方程為，

直線的方程為．

所以，①

．②

由①、②得，

因此，即．

所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時，

將其代入①、②并整理得：

，，

所以是方程的兩根，因此，，

又，所以．

由弦長公式得．

又，

所以或，因此所求拋物線方程為或．

（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線的方程為，

由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，

代入得．

若在拋物線上，則，

因此或．即或．

（1）當(dāng)時，則，此時，點(diǎn)適合題意．

（2）當(dāng)，對于，此時，，

又，，所以，

即，矛盾．

對于，因為，此時直線平行于軸，

 又，

所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時，不存在符合題意的點(diǎn)．

綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題意．