Question

如圖，過拋物線x²=4y焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓x²+（y-1）²=1于點(diǎn)A、B、C、D，則|AB|×|CD|的值是（　�。�

• A、8
• B、4
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：方法一：特殊化，取過焦點(diǎn)的直線y=1，求出直線依次交拋物線與圓的點(diǎn)，計(jì)算|AB|×|CD|的值；
方法二：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)F的直線y=kx+1，與x²=4y聯(lián)立，求出|AB|、|CD|的乘積來．

解答： 解：方法一：特殊化，拋物線x²=4y的焦點(diǎn)是F（0，1），
取過焦點(diǎn)的直線y=1，依次交拋物線與圓x²+（y-1）²=1的點(diǎn)是
A（-2，1）、B（-1，1）、C（1，1）、D（2，1），
∴|AB|×|CD|=1×1=1；
法二：∵拋物線焦點(diǎn)為F（0，1），
∴設(shè)直線為y=kx+1，
直線與x²=4y聯(lián)立得：
y²-（4k²+2）y+1=0；
∵|AB|=|AF|-1=y_A，
|CD|=|DF|-1=y_B；
∴|AB|•|CD|=y_Ay_B=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了直線與拋物線的應(yīng)用問題，是中檔題目．