Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于 ，它的一個短軸端點是（0，2 ）．

（1）求橢圓C的方程；
（2）P（2，3）、Q（2，﹣3）是橢圓上兩點，A、B是橢圓位于直線PQ兩側的兩動點，
①若直線AB的斜率為 ，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，∴設橢圓C方程為 （a＞b＞0），

∵離心率等于 ，它的一個短軸端點是（0，2 ），

∴ ，解得a=4，b=2 ，c=2，

∴橢圓C的方程為

（2）解：①設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y= ，

代入 ，得：x2+tx+t2﹣12=0，

由△＞0，解得﹣4＜t＜4．由韋達定理得x1+x2=﹣t， ．

四邊形APBQ的面積S= =9 ，

∴當t=0時， ．

②當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，

PA的直線方程為y﹣3=k（x﹣2），

由 ，整理得：（9+4k2）x2+8（9﹣2k）kx+4（9﹣2k）2﹣48=0，

有 ．

同理PB的直線方程為y﹣9=﹣k（x﹣2），得 ，

∴ ， ．

從而kAB= = = = ，

∴AB的斜率為定值

【解析】（1）設橢圓C方程為 （a＞b＞0），由離心率等于 ，它的一個短軸端點是（0，2 ），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）①設直線AB的方程為y= ，代入 ，得：x2+tx+t2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，弦長公式，能求出四邊形APBQ面積的最大值．②當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣3=k（x﹣2），PB的直線方程為y﹣9=﹣k（x﹣2），由此利用韋達定理結合已知條件能求出AB的斜率為定值 ．