Question

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線 的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當點為直線上的定點時，求直線的方程；

（Ⅲ）當點在直線上移動時，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3)

【解析】

試題分析： (1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯(lián)立，借助韋達定理和拋物線定義將進行轉化處理，通過參數(shù)的消減得到函數(shù)關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數(shù)求最值，需注意變量的范圍.

試題解析：（1）依題意，解得（負根舍去）         （2分）

拋物線的方程為；                                          （4分）

（2）設點,，，由,即得. 

∴拋物線在點處的切線的方程為，即.   （5分）

∵， ∴ .    ∵點在切線上,   ∴.        ①

同理， .  ②  （6分）

 綜合①、②得，點的坐標都滿足方程 .  （7分）

∵經(jīng)過兩點的直線是唯一的，∴直線 的方程為，即； （8分）

（3）由拋物線的定義可知， （9分）

所以聯(lián)立，消去得，

    （10分）

     （11分）

當時，取得最小值為                           （12分）

考點：拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關系.