Question

（本小題滿分16分）

對于函數(shù)，如果是一個三角形的三邊長，那么也是一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“保三角形函數(shù)”．

對于函數(shù)，如果是任意的非負實數(shù)，都有是一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“恒三角形函數(shù)”．

（Ⅰ）判斷三個函數(shù)“（定義域均為）”中，哪些是“保三角形函數(shù)”？請說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)是“恒三角形函數(shù)”，試求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）如果函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，且值域也為，試證明：既不是“恒三角形函數(shù)”，也不是“保三角形函數(shù)”.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）k的取值范圍是

（Ⅲ）略

【解析】．解：（I）對于上是增函數(shù)，不妨設(shè)

對于上是增函數(shù)，不妨設(shè)

則

所以

故是“保三角形函數(shù)”   ………………4分

對于是一個三角形的三邊長，

但因為，

所以不是三角形的三邊長，故

不是“保三角形函數(shù)”  ………………6分

   （II）法一：

①當，適量題意  ………………8分

②當

所以

 …………9分

③當

所以

從而當

由

綜上所述，所求k的取值范圍是  ………………11分

法二：

，

①當適合題意；

②當上遞增，在上遞減，而

③當上遞增，而

且當

   （以下同法一，按此方法求解的，類似給分）

   （III）①因為，

使得顯然這樣的不是一個三角形的三邊長，

故不是“恒三角形函數(shù)”  ………………13分

②因為，令，

且

所以是一個三角形的三邊長，但因為

不是一個三角形的三邊長，

故也不是“保三角形函數(shù)”  ………………16分

   （說明：也可以先證不是“保三角形函數(shù)”，然后據(jù)此知也不是“恒三角形函數(shù)”）