Question

（2012•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求導(dǎo)函數(shù)，確定切點坐標(biāo)與切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-

2(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，f′(x)=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

．                             …（6分）
當(dāng)a=0時，f′(x)=

2x

(x2+1)2

，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．          …（7分）
當(dāng)a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

(x2+1)2

．
①當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；單調(diào)增區(qū)間是(-a，

1

a

)．…（10分）
②當(dāng)a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，

1

a

)；單調(diào)減區(qū)間是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（13分）
綜上，a＞0時，f（x）在（-∞，-a），(

1

a

，+∞)單調(diào)遞減；在(-a，

1

a

)單調(diào)遞增．a(chǎn)=0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；a＜0時，f（x）在(-∞，

1

a

)，（-a，+∞）單調(diào)遞增；在(

1

a

，-a)單調(diào)遞減．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．