Question

已知二次函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均滿足f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4，且f（-1）=0
（1）求f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）=3lnx+b在[1，2]上有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設，若?x＞0，使g（x）≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4
∴2ax²-8ax+8a+2c=2x²-8x+4
∴a=1，c=-2
∵f（-1）=0
∴a-b+c=0
∴b=-1
∴f（x）=x²-x-2
（2）f（x）=3lnx+b，∴b=x²-x-3lnx-2
設h（x）=x²-x-3lnx-2，則h′（x）=
∴當x∈[1，）時，h′（x）＜0；當x∈（]時，h′（x）＞0
∴函數(shù)h（x）在（1，）上是減函數(shù)；在（）是增函數(shù)；
∴h（x）的最小值為h（）=-
又h（1）=-2，h（2）=-3ln2
∵-2＞-3ln2
∴b∈；
（3）由題意可得g（x）=mlnx+
①當m＞0時，g（x）是增函數(shù)，顯然?x＞0，如x=使得g（x）≤0，所以m＞0符合題意；
②當m=0時，g（x）=恒成立，所以m=0不符合題意
③當m＜0時，g′（x）=
∴g（x）在（0，）為減函數(shù)，在（，+∞）為增函數(shù)；
∴g（x）_min=g（）=-≤0
∴m≤-e
∴m∈（-∞，-e]∪（0，+∞）．
分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），利用f（2-x）+f（x-2）=2x²-8x+4及f（-1）=0，即可求f（x）的表達式；
（2）f（x）=3lnx+b，所以b=x²-x-3lnx-2，設h（x）=x²-x-3lnx-2，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值，由此可得實數(shù)b的取值范圍；
（3）由題意可得g（x）=mlnx+，對m分類討論，確定函數(shù)的最小值，即可得到實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查存在性問題，用好導數(shù)是關鍵．