Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AD＝a，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大��；

(2)求證：MN⊥平面PCD；

(3)當(dāng)AB的長(zhǎng)度變化時(shí)，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD． 　　故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角． 　　在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°．　　3分 　　(2)如圖所示，取PD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)， 　　∴EN∥CD∥AB 　　∴AMNE是平行四邊形 　　∴MN∥AE． 　　在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線．∴AE⊥PD． 　　又CD⊥AD，CD⊥PD 　　∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE， 　　又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD．　　7分 　　(3)∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角． 　　由三垂線定理知PB⊥BC，設(shè)AB＝x(x＞0)． 　　∴ 　　又∵∈(0，∞)，∴tan∠PCB∈(1，＋∞)． 　　又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈(，)， 　　即異面直線PC，AD所成的角的范圍為．　　12分