Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-xlnx，g（x）=ax²（lnx-$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（e，f（e））處的切線方程（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.718…）；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，對a討論，當a≤0時，若a=$\frac{1}{2}$，若a＞$\frac{1}{2}$，若0＜a＜$\frac{1}{2}$，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導數(shù)小于0，可得減區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x-xlnx的導數(shù)為f′（x）=1-（1+lnx）=-lnx，
f（x）在點（e，f（e））處的切線斜率為-1，切點為（e，0），
則f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y=-x+e；
（Ⅱ）F′（x）=1-（1+lnx）+2ax（lnx-$\frac{1}{2}$）+ax=-lnx（1-2ax），
①當a≤0時，F(xiàn)′（x）=-lnx，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1；
由F′（x）＜0，可得x＞1，
則f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
②若a=$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞1，
f（x）的增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）；
③若a＞$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$；
由F′（x）＜0，可得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，1）；
④若0＜a＜$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；
由F′（x）＜0，可得1＜x＜$\frac{1}{2a}$，
f（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞），減區(qū)間為（1，$\frac{1}{2a}$）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，運用分類討論的思想方法和正確求導是解題的關鍵．