Question

如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點(diǎn)．
（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求異面直線SA與PD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OP為△ABS的中位線，故有SA∥OP．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得SA∥平面PCD．
（2）由（1）結(jié)合異面直線所成的角的定義可得∠OPD即為異面直線SA與PD所成角．直角三角形OPD中，根據(jù)tan∠OPD=

OD

OP

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）圓錐SO中，P為SB的中點(diǎn)，故OP為△ABS的中位線，故有SA∥OP．
由于OP在平面PCD內(nèi)，而SA不在平面PCD內(nèi)，故有SA∥平面PCD．
（2）由SA∥OP，結(jié)合異面直線所成的角的定義可得∠OPD即為異面直線SA與PD所成角．
由AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，可得CD⊥平面SOB，
而OP在平面SOB內(nèi)，故有CD⊥OP．
直角三角形OPD中，OD=2，OP=

1

2

SA=

1

2

SB=

2

，故tan∠OPD=

OD

OP

=

2

2

=

2

，
即異面直線SA與PD所成角的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．