Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，圓O方程為（x-3）²+（y-4）²=4，過(guò)點(diǎn)A（1，0）做直線L與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，M為其中點(diǎn)，直線L與x+2y+2=0相交于點(diǎn)N，求|AM|•|AN|．

Answer 1

分析 設(shè)連接CA并延長(zhǎng)交直線x+2y+2=0相交于G，可得CG⊥NG，由垂徑定理得CM⊥PQ，可得△AGN∽△AMC，將比例線段轉(zhuǎn)化為等積式，得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|

解答 解：設(shè)連接CA并延長(zhǎng)交直線x+3y+6=0相交于G，連接CM
可得AC的斜率為k_AC=2
∵直線x+2y+2=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
∴直線AC與直線x+2y+2=0垂直
又∵圓C中，M為弦PQ的中點(diǎn)
∴CM⊥PQ
因此△AGN∽△AMC，可得|AM|•|AN|=|AC|•|AG|
又∵|AC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，|AG|=$\frac{3}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴|AC|•|AG|=2$\sqrt{5}$•$\frac{3}{\sqrt{5}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題，利用垂徑定理得到三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．