Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^x，當曲線y=f（x）的切線L的斜率為正數(shù)時，L在x軸上截距的取值范圍為

(-∞，-2

2

-3)∪(0，+∞)

．

Answer 1

分析：設(shè)切點P（a，a²e^a），根據(jù)導數(shù)的幾何意義，得到切線L的斜率k=y′|_x=a=2ae^a+a²e^a＞0，解得a的取值范圍，再求出切線方程在x軸上的截距，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出橫截距x的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²e^x，
∴y′=2xe^x+x²e^x，設(shè)切點P（a，a²e^a）
根據(jù)題意可得，切線L的斜率k=y′|_x=a=2ae^a+a²e^a＞0，即（a²+2a）e^a＞0，解得a＜-2或a＞0，
由點斜式可得切線L的方程為：y-a²e^a=（2ae^a+a²e^a）（x-a），
令y=0，可得x=a-

a

a+2

=

2

a+2

+a+2-3，
①當a＜-2，即a+2＜0時，x=

2

a+2

+a+2-3=-[

2

-(a+2)

+(-a-2)]-3≤-2

2 -(a+2) •[-(a+2)]

-3=-2

2

-3，
當且僅當-（a+2）=-

2

a+2

，即a=-

2

-2時取等號，
∴x≤-2

2

-3；
②當a＞0，即a+2＞2時，x=

2

a+2

+a+2-3在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
當a+2=2時，x=0，
∴x＞0．
綜合①②，x≤-2

2

-3或x＞0．
故答案為：(-∞，-2

2

-3)∪(0，+∞)．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，同時考查了直線方程的截距的概念．涉及利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的取值范圍，利用基本不等式時，要注意“一正，二定，三相等”的判斷．屬于中檔題．