Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+c（a，c∈R）滿足條件：①f（1）=0；②對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）=f（x）-4mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-20？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分a=0和a函數(shù)是二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0；根據(jù)f（1）=0得，
（2）g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1，該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1 在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-20．根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，從而可求m的值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+c．
由f（1）=0得-2+c=0，即c=2，
∴f（x）=-2x+2，
顯然x＞1時(shí)，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，
∴a≠0，因而函數(shù)f（x）=ax²-2x+c是二次函數(shù)，
由于對(duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＞0 4-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥1

，由此可知 a＞0，c＞0，
∴ac≤（

a+c

2

）²，
由f（1）=0，得a+c=2，代入上式得ac≤1．
但前面已推得ac≥1，
∴ac=1，
綜上解得a=c=1，
∴f（x）的解析式為f（x）=x²-2x+1，
（2）由題意g（x）=f（x）-4mx=x²-2x+1-4mx=x²-（4m+2）x+1，
該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=2m+1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)g（x）=f（x）-4mx=x²-（4m+2）x+1在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-5．
①當(dāng)m＜-1時(shí)，2m+1＜m，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞增的，
∴g（m）=-20，
即m²-（4m+2）m+1=-20，化簡(jiǎn)得3m²+2m-21=0，
解得m=-3或m=

7

3

（與m＜-1矛盾，舍去），
②當(dāng)-1≤m＜1時(shí)，m≤2m+1＜m+1，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，2m+1]上是遞減的，而在區(qū)間[2m+1，m+2]上遞增，
∴g（2m+1）=-20，
即（2m+1）²-（4m+2）（2m+1）+1=-20，
解得m=

-1- 21

2

或m=

-1+ 21

2

，與-1≤m＜1矛盾，都舍去，
③當(dāng)m≥1時(shí)，2m+1≥m+2，函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，m+2]上是遞減的，
∴g（m+2）=-20，
即（m+2）²-（4m+2）（m+2）+1=-20，
解得m=-1-2

2

（與m≥1矛盾，舍去）或m=-1+2

2

，
綜上可得，當(dāng)m=-3或m=-1+2

2

時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-4mx在區(qū)間[m，m+2]上有最小值-20．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、方程、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)的解析式的求解與函數(shù)最值的研究，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，正確分類，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的綜合性．