Question

（14 分）如圖（1）是一正方體的表面展開圖，MN 和PB 是兩條面對(duì)角線，請?jiān)趫D（2）的正方體中將MN 和PB 畫出來，并就這個(gè)正方體解決下面問題。

   （1）求證：MN//平面PBD；

   （2）求證：AQ⊥平面PBD；

   （3）求二面角P—DB—M 的大小．

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2) 略

(3)

【解析】解：M、N、Q、B的位置如右圖示。（正確標(biāo)出給1分）

       （1）∵ND//MB且ND=MB

       ∴四邊形NDBM為平行四邊形

       ∴MN//DB………………3分

       ∴BD平面PBD，MN

       ∴MN//平面PBD……………………4分

   （2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

       ∴BD⊥QC……………………5分

       又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

       ∵AQ面AQC

       ∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

       ∵BDPD=B

       ∴AQ⊥面PDB……………………………8分

   （3）解法1：分別取DB、MN中點(diǎn)E、F連結(jié)

       PE、EF、PF………………9分

       ∵在正方體中，PB=PB

       ∴PE⊥DB……………………10分

       ∵四邊形NDBM為矩形

       ∴EF⊥DB

       ∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角…………11分

       ∵EF⊥平面PMN

       ∴EF⊥PF

       設(shè)正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中

       ∵

       ∴

       …………………………13分

       解法2：設(shè)正方體的棱長為a，

       以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

       則點(diǎn)A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

       ∴………………10分

       ∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

       ∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分

       ∴

      

       ∴………………13分