Question

已知點Q（1，0）在橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上，且橢圓C的離心率

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（m，0）作直線交橢圓C于點A，B，△ABQ的垂心為T，是否存在實數(shù)m，使得垂心T在y軸上．若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）假設(shè)存在實數(shù)m，使得垂心T在y軸上．當直線斜率不存在時，設(shè)A（m，n），B（m，-n），此時T（0，0）．則

AT

•

BQ

=0，又

n2

2

+m2=1，聯(lián)立解得即可．當直線斜率存在時，設(shè)T（0，t）（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線方程為：y=k（x-m），則直線QT的斜率為-t，由于AB⊥QF，可得k=-

1

t

，由于BT⊥AQ可得（-x₂，t-y₂）•（1-x₁，-y₁）=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₂+ty₁，與橢圓方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：（I）由題意可得

0+ 1 b2 =1 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得b=c=1，a²=2．
∴橢圓C的方程為

y2

2

+x2=1；
（II）假設(shè)存在實數(shù)m，使得垂心T在y軸上．
當直線斜率不存在時，設(shè)A（m，n），B（m，-n），此時T（0，0）．
則

AT

•

BQ

=0，∴n²+m（1-m）=0，
又

n2

2

+m2=1，聯(lián)立解得m=-

2

3

或m=1（舍去），∴m=-

2

3

．
當直線斜率存在時，設(shè)T（0，t）（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線方程為：y=k（x-m），則直線QT的斜率為-t，
∵AB⊥QT，∴k=-

1

t

，
又∵BT⊥AQ，∴（-x₂，t-y₂）•（1-x₁，-y₁）=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₂+ty₁，
∴x1x2+y1y2=x2+t(

1

t

x1-

1

t

m)，x₁x₂+y₁y₂=x₁+x₂-m，（*）
聯(lián)立

y= 1 t (x-m) x2+ y2 2 =1

化為（2t²+1）x²-2mx+m²-2t²=0，
∵△＞0，∴2t²+1-m²＞0，∴x1+x2=

2m

2t2+1

，x1x2=

m2-2t2

2t2+1

，
∵y1y2=

1

t2

(x1-m)(x2-m)=

1

t2

[x1x2-m(x1+x2)+m2]=

2m2-2

2t2+1

，代入（*）可得2t²=

3m2-m-2

1-m

=-3m-2，
∵2t²＞0，∴m＜-

2

3

．
∴m²+3m+1＜0，解得-

3+ 5

2

＜m＜-

3- 5

2

，
綜上可知：實數(shù)m的取值范圍為-

3+ 5

2

＜m≤-

2

3

．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．