Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）時恒成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）方程有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0），
當a＞0時，g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數，
故，即，解得------
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化為：x+-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+-≥k，
∵1+-=≥0（當x=1時取等號）
∴k≤0．----
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（-3）=0可化為：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，則方程化為
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+-（2+3k）=0有三個不同的實數解，
∴由t=|2^x-1|的圖象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
記φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
則或
∴k＞0------
分析：（Ⅰ）由g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0）在[2，3]上為增函數，可得，從而可求得a、b的值；
（Ⅱ）f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）時恒成立?k≤1+-=（x＞0）恒成立，從而可求得實數k的取值范圍；
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（-3）=0?|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，則t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構造函數φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通過數形結合與等價轉化的思想即可求得k的范圍．
點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的最值，考查函數恒成立問題問題，考查數形結合與等價轉化、函數與方程思想的綜合應用，屬于難題．