Question

已知函數(shù)（，）的圖象恒過定點(diǎn)，橢圓：

（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與⊙：相切．

（1）求直線的方程；

（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)并與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，且，求內(nèi)切圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1），或   （2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）易知定點(diǎn)，⊙的圓心為，半徑．

①當(dāng)軸時，的方程為，易知和⊙相切．

②當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為，即，

圓心到的距離為． 由和⊙相切，得，解得．         

于是的方程為．綜上，得直線的方程為，或．      

（Ⅱ）設(shè)，，則由，得．

又由直線的斜率為，得，．   

于是．

有，是等腰三角形，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)．易知．                                        

于是內(nèi)切圓的圓心在線段上．設(shè)，內(nèi)切圓半徑為．則，

由點(diǎn)到直線的距離，解得．                                                          

故內(nèi)切圓的方程為．

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．