Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論在上的單調(diào)性.

（2）當(dāng)時(shí)，若在上的最大值為，證明：函數(shù)在內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1），在單調(diào)遞減；時(shí)，在單調(diào)遞增；

（2）證明見解析；

【解析】

（1），分和，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和最值求，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增， ，可知上有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，再求，當(dāng)時(shí)，從而得到含的單調(diào)性和零點(diǎn)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn).

（1），

當(dāng)，時(shí)，， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

綜上得當(dāng)，在單調(diào)遞減；

時(shí)，在單調(diào)遞增；

（2）由（1）知時(shí)

的最大值為

由得，

在上單調(diào)遞增；

且，，

在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)

令，

，

在內(nèi)單調(diào)遞減，

且，，

存在，使得，

時(shí)，

在單調(diào)遞增

時(shí)，

在上無零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，

在內(nèi)單調(diào)遞減；

又

在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，在內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).